Question

已知函數f（x）=e^x，若函數g（x）滿足f（x）≥g（x）恒成立，則稱g（x）為函數f（x）的下界函數．
（1）若函數g（x）=kx是f（x）的下界函數，求實數k的取值范圍；
（2）證明：對任意的m≤2，函數h（x）=m+lnx都是f（x）的下界函數．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，k＜0不成立，而k=0必然成立；當k＞0時，由f（x）≥g（x）恒成立，得e^x-kx≥0恒成立．利用導數可得?（x）=e^x-kx的單調性，
求得?（x）_min=?（lnk）=k-klnk≥0，求得k的范圍，綜合可得k的范圍．
（2）由（1）知f（x）≥G（x）=ex恒成立，構造函數F（x）=ex-lnx-m（x＞0），利用導數求得F(x)min=F(

1

e

)=2-m≥0，即G（x）≥h（x）恒成立．
所以f（x）≥G（x）≥h（x）恒成立，命題得證．

解答：解：（1）若g（x）=kx為f（x）=e^x的下界函數，易知k＜0不成立，而k=0必然成立．
當k＞0時，若g（x）=kx為f（x）=e^x的下界函數，則f（x）≥g（x）恒成立，
即e^x-kx≥0恒成立．
令?（x）=e^x-kx，則?'（x）=e^x-k．
易知函數?（x）在（-∞，lnk）單調遞減，在（lnk，+∞）上單調遞增．
由?（x）≥0恒成立得?（x）_min=?（lnk）=k-klnk≥0，解得0＜k≤e．
綜上知0≤k≤e．
（2）由（1）知函數G（x）=ex是f（x）=e^x的下界函數，即f（x）≥G（x）恒成立．
由于 m≤2，構造函數F（x）=ex-lnx-m（x＞0），
則 F′(x)=e-

1

x

=

ex-1

x

，易知F(x)min=F(

1

e

)=2-m≥0，
即h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函數，
即G（x）≥h（x）恒成立．
所以f（x）≥G（x）≥h（x）恒成立，
即m≤2時，h（x）=m+lnx是f（x）=e^x的下界函數．

點評：本題主要考查函數的恒成立問題，利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性求函數的最值，屬于中檔題．