Question

已知函數f（x）=cos²x+sinx，那么下列命題中假命題是（　　）

• A、f（x）既不是奇函數也不是偶函數
• B、f（x）在(

  π

  2

  ，

  5π

  6

  )上是增函數
• C、f（x）是周期函數
• D、f（x）在[-π，0]上恰有一個零點

Answer 1

分析：先利用特殊值法判斷 A為真命題；再利用導數證明函數f′（x）在(

π

2

，

5π

6

)上恒正，從而B為真命題；利用函數周期性定義和誘導公式可證明C為真命題；故選D

解答：解：f（0）=1，故此函數不是奇函數，f（

π

2

）=1，f（-

π

2

）=-1，故函數不是偶函數，故 A為真命題；
∵f′（x）=-2cosxsinx+cosx=cosx（1-2sinx），當x∈(

π

2

，

5π

6

)時，sinx∈（

1

2

，1），1-2sinx＜0，cosx＜0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在(

π

2

，

5π

6

)上是增函數，B為真命題；
∵f（x+2π）=cos²（x+2π）+sin（x+2π）=cos²x+sinx=f（x），∴f（x）是周期函數，故C為真命題；
令cos²x+sinx=0，即-sin²x+sinx+1=0，sinx=

1+ 5

2

（舍去）或sinx=

1- 5

2

，在[-π，0]上有兩個零點，故D為假命題；
故選D

點評：本題主要考查了函數的奇偶性及其判斷方法，三角函數的單調性及其判斷方法，函數周期定義即三角方程的解法，屬基礎題