Question

已知空間四邊形ABCD中，E、H分別為AB、AD的中點，F、G分別為BC、CD的中點．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若平行四邊形EFGH為菱形，判斷線段AC與線段BD的大小關系．

Answer 1

分析：（1）根據空間直線平行的性質即可證明四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）根據平行四邊形EFGH為菱形，即可判斷線段AC與線段BD的大小關系．

解答：解：（1）∵E、H分別為AB、AD的中點，F、G分別為BC、CD的中點．
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD，
FG∥BD，且FG=

1

2

BD，
即EH∥FG，且EH=FG，
即四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若平行四邊形EFGH為菱形，
則EH=EF，
∵E，F分別是AB，BC的中點，
∴EF∥AC，且EF=

1

2

AC，
又FG=

1

2

BD，
∴AC=BD．

點評：本題主要考查空間直線的位置關系的判斷，利用中位線的性質是解決本題的根據，要求熟練掌握直線平行的平行公理的應用．