Question

如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF=AB=BC=EF=

1

2

AD
（1）求異面直線AC和DE所成的角
（2）求二面角A-CD-E的大小
（3）若Q為EF的中點，P為AC上一點，當

AP

PC

為何值時，PQ∥平面EDC？

Answer 1

分析：（1）以AB，AD，AF所在直線為坐標軸建立坐標系，求出cos ＜

AC

，

DE

＞的值，即可得到異面直線AC和DE所成的角．
（2）求出兩個平面的法向量的坐標，即可求得這兩個法向量的夾角的余弦值，從而得到二面角A-CD-E的大小．
（3）設P（x，y，0），由

AP

=λ

PC

得到

PQ

的坐標，由

PQ

= m

DE

+ n

CD

 求得λ值，即得所求．

解答：解：（1）以AB，AD，AF所在直線為坐標軸建立坐標系，如圖：
設AD=2，則 A（0，0，0），C（1，-1，0），D（0，-2，0），
 E（0，-1，1），F（0，0，1）．
∴

AC

=(1，-1，0) ，

DE

=(0，1，1)，∴cos＜

AC

，

DE

＞=

-1

2 • 2

=-

1

2

，
∴異面直線AC和DE所成的角為60°．
（2）

DE

=(0，1，1) ，

CD

=(-1，-1，0)，
設平面CDE的法向量為

n1

=(x，y，z)，則

y+z=0 x+y=0

，取x=1，y=-1，z=1，故

n1

=(1，-1，1)．
平面CDA的一個法向量為

n2

=(0，0，1)，cos＜

n2

，

n2

＞=

1

3 ×1

=

3

3

，
所以二面角A-CD-E的大小為arccos

3

3

．
（3）Q(0，-

1

2

，1)，設P（x，y，0），

PQ

=(-x，-

1

2

-y，1)，由

AP

=λ

PC

得

x= λ λ+1 y=- λ λ+1

，

PQ

=(-

λ

λ+1

，-

1

2

+

λ

λ+1

，1)，
令

PQ

=m

DE

+n

CD

，求得λ=3，因此

AP

PC

的值為3時，PQ∥平面EDC．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，證明線面平行的方法，求二面角的大小，體現了轉化的數學思想，
準確求出有關向量的坐標是解題的關鍵．