Question

已知函數f（x）=x²-2ax+b在x=1處有極值2．
（1）求函數f（x）=x²-2ax+b在閉區間[0，3]上的最值；
（2）求曲線）y=x²-2ax+b，y=x+3所圍成的圖形的面積S．

Answer 1

分析：（1）因為函數f（x）=x²-2ax+b在x=1處有極值2，所以所以

f′(1)=2-2a=0 f(1)=1-2a+b=2

，所以f（x）=x²-2x+3利用導數判斷函數的單調性求函數的最值即可．
（2）求出一次函數與二次函數的交點橫坐標x=0及x=3，利用積分公式求出面積s=

∫

3 0

[(x+3)-(x2-2x+3)]dx=

∫

3 0

(-x2+3x)dx=

9

2

．

解答：解：（1）由已知f′（x）=2x-2a
因為在x=1時有極值2，所以

f′(1)=2-2a=0 f(1)=1-2a+b=2

解方程組得：

a=1 b=3

所以f（x）=x²-2x+3．
當x∈[0，1]時，f′（x）＜0所以f（x）單調遞減
當x∈[1，3]時，f′（x）＞0所以f（x）單調遞增且f（0）=3，f（1）=2，f（3）=6
所以f（x）的最大值為6，f（x）最小值為2
（2）由

y=x+3 y=x2-2x+3

解得x=0及x=3．
從而所求圖形的面積s=

∫

3 0

[(x+3)-(x2-2x+3)]dx=

∫

3 0

(-x2+3x)dx=

9

2

．

點評：函數的極值與最值問題，是基本初等函數中很主要的兩個性質，運用導數作為工具是解決這類問題的關鍵，正確理解定積分的幾何意義合理確定積分上限下限和被積函數是解決此類問題的關鍵．