Question

（本題滿分15分）已知函數．
（Ⅰ）若為定義域上的單調函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當時,求函數的最大值；
（Ⅲ）當,且時，證明:．

Answer 1

解: （Ⅰ）,
∴---------2分
若f（x）在上是增函數,則,即在恒成立,
而,故m≥0;-----------------------------------------2分
若f（x）在上是減函數,則,即在恒成立,
而,故這樣的m不存在．------------------------------1分
經檢驗,當m≥0時,對恒成立,
∴當m≥0時，f（x）在定義域上是單調增函數．---------------------1分
（Ⅱ）當m =－1時,,則----------1分
當時,,此時f（x）為增函數,
當時,,此時f（x）為減函數----------------------------2分
∴在x = 0時取得最大值,最大值為----------------------1分
（Ⅲ）當m = 1時,令,--1分
在[0,1]上總有,即在[0,1]上遞增------------------------------1分
∴當時,,即----1分
令,由（Ⅱ）知它在[0,1]上遞減,所以當時,,即-----------------1分
綜上所述,當m = 1,且時,---------------1分

解析