Question

已知橢圓C₁：的離心率為，x軸被拋物線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長，
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）設C₂與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l：y=kx與C₂相交于A，B兩點，直線MA，MB分別與C₁相交于D，E，
①證明：為定值；
②記△MDE的面積為S，試把S表示成k的函數，并求S的最大值。

Answer 1

解：（1）由已知，，
∴， ①
在y=x²-b中，令y=0，得，
∴，②
由①②得，，
∴；
（2）①由，得，
設，則，
而M（0，-1），
∴

∴MA⊥MB，
∴MD⊥ME，
∴；
②設，
∵A在上，
∴，即，
∴，
∴直線AM方程為：，
代入，得，
∴，
同理，
∴，
由①知，，
∴，
令，
∴，
又在時，u為增函數，
∴，
當t=2，即k=0時，。