Question

設數列{a_n}為等比數列，a1=C2m+33mAm-21，公比q是(x+

1

4x2

)4的展開式中的第二項（按x的降冪排列）．
（1）確定m的值
（2）用n，x表示通項a_n與前n項和S_n；
（3）記 An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn
①證明，當x=1時，An=n×2n-1
②當x≠1時，用n，x表示A_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=

C

3m 2m+3

•

A

1 m-2

可得到關于m的不等式組

2m+3≥3m m-2≥1

，解之即可得m；
（2）結合（1）知a₁=1，可求得公比為x，從而可求得通項a_n與前n項和S_n；
（3）當x=1時，S_n=n，此時A_n=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，①又A_n=n

C

0 n

+（n-1）

C

1 n

+…+1•

C

n-1 n

 ②，二者相加即可證得結論；
當x≠1時，S_n=

1-xn

1-x

，此時A_n=

1-x

1-x

C

1 n

+

1-x2

1-x

C

2 n

+…+

1-xn

1-x

C

n n

，提取公因式

1

1-x

，再分組求和即可．

解答：（1）由a₁=

C

3m 2m+3

•

A

1 m-2

得

2m+3≥3m m-2≥1

?

m≤3 m≥3

，
∴m=3，
（2）a₁=

C

9 9

•

A

1 1

=1．
又(x+

1

4x2

)4 展開式中第2項T₂=

C

1 4

•x³•（

1

4x2

）=x，即公比為x，
∴a_n=x^n-1，
∴S_n=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

；
（2）由S_n表達式引發討論：
（Ⅰ）當x=1時，S_n=n，此時A_n=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，①
又A_n=n

C

0 n

+（n-1）

C

1 n

+…+1•

C

n-1 n

 ②
∴①+②得2A_n=n（

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）當x≠1時，S_n=

1-xn

1-x

，此時A_n=

1-x

1-x

C

1 n

+

1-x2

1-x

C

2 n

+…+

1-xn

1-x

C

n n

 
=

1

1-x

[（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）-（x

C

1 n

+x²

C

2 n

+x³

C

3 n

+…+xⁿ

C

n n

）]
=

1

1-x

{（2ⁿ-1）-[（1+x）ⁿ-1]}
=

1

1-x

[2ⁿ-（1+x）ⁿ]．

點評：本題考查二項式定理的應用，考查等比數列的求和，突出考查分類討論思想與等價轉化思想的綜合運用，屬于難題．