Question

設f（x）的定義域為D，f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數．
①f（x）在D內是單調函數；
②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
如果f（x）=

2x+1

+k為閉函數，那么k的取值范圍是

-1＜k≤-

1

2

．

Answer 1

分析：函數f（x）=

2x+1

+k是[-

1

2

，+∞）上的增函數，因此若函數f（x）=

2x+1

+k為閉函數，則可得函數y=f（x）的圖象與直線y=x相交于點（a，a）和（b，b）．因此方程k=x-

2x+1

在[-

1

2

，+∞）上有兩個不相等的實數根a、b．最后采用換元法，討論二次函數的單調性，可得f（x）=

2x+1

+k為閉函數時，實數k的取值范圍是：-1＜k≤-

1

2

．

解答：解：∵k是常數，函數y=

2x+1

是定義在[-

1

2

，+∞）上的增函數，
∴函數f（x）=

2x+1

+k是[-

1

2

，+∞）上的增函數，
因此，若函數f（x）=

2x+1

+k為閉函數，則存在區間[a，b]⊆D，
使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
可得函數y=f（x）的圖象與直線y=x相交于點（a，a）和（b，b）（如圖所示）
∴

2a+1 +k=a 2b+1 +k=b

，
可得方程k=x-

2x+1

在[-

1

2

，+∞）上有兩個不相等的實數根a、b
令t=

2x+1

，得x=

t2-1

2

，設函數F（x）═x-

2x+1

=g（t），（t≥0）
即g（t）=

1

2

t²-t-

1

2

，
在t∈[0，1]時，g（t）為減函數-1≤g（t）≤-

1

2

；在t∈[1，+∞）時，g（t）為增函數g（t）≥-1；
∴當-1＜k≤-

1

2

時，有兩個不相等的t值使g（t）=k成立，相應地有兩個不相等的實數根a、b滿足方程k=x-

2x+1

，
當f（x）=

2x+1

+k為閉函數時，實數k的取值范圍是：-1＜k≤-

1

2

．
故答案為：-1＜k≤-

1

2

點評：本題以含有根式的函數為例，探求函數為閉函數時參數k的取值范圍，著重考查了函數的單調性、換元法討論二次函數等知識點，屬于中檔題．