Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c的圖象在點（1，f（1））處切線的斜率為10，當x=6時，函數f（x）有極值36．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若直線l₁，l₂過點（s，t）且于函數y=f（x）的圖象相切，切點坐標分別為A，B，求證直線x=s平分線段AB；
（Ⅲ）若g（x）=10lnx+m，試問：是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象于y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=2a+b=10 f(6)=36a+6b+c=36 f′(6)=12a+b=0

，解之得

a=-1 b=12 c=0

．
（Ⅱ）設切點為M（X，Y），則過點M的切線方程為y-Y=（-2x+12）（x-X），又該切線過點（s，t），則得t+X²-12X=（-2X+12）（s-X），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點坐標為（x₀，y₀），則x₁，x₂是X²-2sX+12s-t=0的兩個根，∴x0=

x1+x2

2

=

2s

2

=s，故直線x=s平分線段AB；
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x）=x²-12x+10lnx+m，則問題等價于函數y=φ（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點，
得到φ′(x)=2x-12+

10

x

=

2x2-12x+10

x

=

2(x-1)(x-5)

x

，（x＞0）進而得到φ（x）的極大值為φ（1）=m-11；φ（x）的極小值為φ（5）=m+10ln5-35
由題意知，要使φ（x）=0有且僅有兩個不同的正根，必須且只須φ（1）=m-11=0或φ（5）=m+10ln5-35=0，解出m即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=2a+b=10 f(6)=36a+6b+c=36 f′(6)=12a+b=0

解之得

a=-1 b=12 c=0

∴函數f（x）的解析式為f（x）=-x²+12x．…（4分）
（Ⅱ）設切點為M（X，Y），則Y=-X²+12X．
點M處切線的斜率為f'（x）=-2x+12，
過點M的切線方程為y-Y=（-2x+12）（x-X），…（6分）
又該切線過點（s，t），∴t-Y=（-2x+12）（s-X），
即t+X²-12X=（-2X+12）（s-X），
整理可得X²-2sX+12s-t=0，…．（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點坐標為（x₀，y₀），
則x₁，x₂是X²-2sX+12s-t=0的兩個根，∴x0=

x1+x2

2

=

2s

2

=s，故直線x=s平分線段AB．…（10分）
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x）=x²-12x+10lnx+m
因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數y=φ（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點，
∴φ′(x)=2x-12+

10

x

=

2x2-12x+10

x

=

2(x-1)(x-5)

x

，（x＞0）…（12分）
當x∈（0，1）時，φ'（x）＞0，φ（x）是增函數；
當x∈（1，5）時，φ'（x）＜0，φ（x）是減函數；
當x∈（5，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）是增函數；
當x=1或x=5時，φ'（x）=0
∴φ（x）的極大值為φ（1）=m-11；φ（x）的極小值為φ（5）=m+10ln5-35．…（14分）
又因為當x→0時，φ（x）→-∞；當x→+∞時，φ（x）→+∞．
所以要使φ（x）=0有且僅有兩個不同的正根，必須且只須φ（1）=m-11=0或φ（5）=m+10ln5-35=0
解得m=11或m=35-10ln5．
∴當m=11或m=35-10ln5時，函數f（x）與函數g（x）的圖象
有且只有兩個不同的交點…（16分）

點評：本題綜合考查了極值的意義，導數與函數單調性間的關系，分類討論的思想方法，屬于中檔題．