Question

已知函數（，），．
（1）求函數的單調區間，并確定其零點個數；
（2）若在其定義域內單調遞增，求的取值范圍；
（3）證明不等式 （）．

Answer 1

（1）當時，為的減區間，為的增區間，有且只有一個零點；當時，為的增區間，為的減區間，有且只有一個零點．
（2）；（3）祥見解析．

解析試題分析：（1）首先求出已知函數的導數，然后由導數為正（為負）求得函數的增（減）區間，結合函數的單調區間就可求得函數的零點的個數；注意分類討論；（2）由在其定義域內單調遞增，可知，恒成立，從而就可利用二次函數的圖象來求得字母的取值范圍；或者分離參數將不等式的恒成立問題轉化為函數的最值問題來加以解決；（3）觀察所證不等式左右兩邊，聯想已知的函數，由（2）可知 當時，在內單調遞增，而，所以當時，，即 令 ， 則 即:，然后再令n=1，2，3，…，n得到n個式子，將這n個式子相加就可得到所證不等式．
試題解析：（1）         1分
則
       …2分
（i）若，則當時，；當時，
所以 為的增區間，為的減區間．    3分
極大值為
所以只有一個零點．
（ii）若，則當時，；當時，
所以 為的減區間，為的增區間．
極小值為      4分
所以只有一個零點．
綜上所述，
當時，為的減區間，為的增區間，有且只有一個零點；
當時，為的增區間，為的減區間，