Question

（2012•臨沂一模）直線l過點（4，0）且與圓（x-1）²+（y-2）²=25交于A、B兩點，如果|AB|=8，那么直線l的方程為

x=4或5x-12y-20=0

．

Answer 1

分析：由圓的標準方程找出圓心的坐標和半徑r，由弦AB的長及圓的半徑，根據垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線l的距離為3，分兩種情況考慮：當直線l與x軸垂直時，直線x=4滿足題意；當直線l與x軸不垂直時，設直線l的斜率為k，根據直線l過（4，0）及設出的斜率表示出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，讓d等于3列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程．

解答：解：由圓（x-1）²+（y-2）²=25，得到圓心坐標為（1，2），半徑r=5，
∵|AB|=8，r=5，∴圓心到直線l的距離d=

r2-( |AB| 2 )2

=3，
若直線l垂直于x軸，此時直線l方程為x=4，
而圓心（1，2）到直線x=4的距離為3，符合題意；
若直線l與x軸不垂直，設直線l斜率為k，其方程為：y-0=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∴圓心到直線l的距離d=

|3k+2|

k2+1

=3，解得：k=

5

12

，
此時直線l的方程為：5x-12y-20=0，
綜上，所有滿足題意的直線l方程為：x=4或5x-12y-20=0．
故答案為：x=4或5x-12y-20=0

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，以及直線的點斜式方程，利用了分類討論的數學思想，是一道綜合性較強的題．本題的答案有兩解，注意不要漏解．