Question

（2013•湖南）設S_n為數列{a_n}的前n項和，Sn=(-1)nan-

1

2n

，n∈N^*，則
（1）a₃=

-

1

16

；
（2）S₁+S₂+…+S₁₀₀=

1

3

(

1

2100

-1)

．

Answer 1

分析：（1）把給出的數列遞推式先分n=1和n≥2討論，由此求出首項和n≥2時的關系式an=(-1)nan+(-1)nan-1+

1

2n

．對此關系式再分n為偶數和奇數分別得到當n為偶數和奇數時的通項公式，則a₃可求；
（2）把（1）中求出的數列的通項公式代入Sn=(-1)nan-

1

2n

，n∈N^*，則利用數列的分組求和和等比數列的前n項和公式可求得結果．

解答：解：由Sn=(-1)nan-

1

2n

，n∈N^*，
當n=1時，有a1=(-1)1a1-

1

2

，得a1=-

1

4

．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(-1)nan-

1

2n

-(-1)n-1an-1+

1

2n-1

．
即an=(-1)nan+(-1)nan-1+

1

2n

．
若n為偶數，則an-1=-

1

2n

(n≥2)．
所以an=-

1

2n+1

（n為正奇數）；
若n為奇數，則an-1=-2an+

1

2n

=(-2)•(-

1

2n+1

)+

1

2n

=

1

2n-1

．
所以an=

1

2n

（n為正偶數）．
所以（1）a3=-

1

24

=-

1

16

．
故答案為-

1

16

；
（2）因為an=-

1

2n+1

（n為正奇數），所以-a1=-(-

1

22

)=

1

22

，
又an=

1

2n

（n為正偶數），所以a2=

1

22

．
則-a1+a2=2×

1

22

．
-a3=-(-

1

24

)=

1

24

，a4=

1

24

．
則-a3+a4=2×

1

24

．
…
-a99+a100=2×

1

2100

．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉₉+S₁₀₀
=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a99+a100)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2100

)
=2(

1

4

+

1

16

+…+

1

2100

)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2100

)
=2•

1 4 (1- 1 450 )

1- 1 4

-

1 2 (1- 1 2100 )

1- 1 2

=

1

3

(

1

2100

-1)．
故答案為

1

3

(

1

2100

-1)．

點評：本題考查了數列的求和，考查了數列的函數特性，解答此題的關鍵在于當n為偶數時能求出奇數項的通項，當n為奇數時求出偶數項的通項，此題為中高檔題．