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設焦點在x軸上的橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0），其離心率為
2
2
．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線l過點P（0，4），則直線l何時與橢圓M相交？
分析：（1）利用焦點在x軸上的橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0），其離心率為
2
2
，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用判別式非負，即可得到結論．
解答：解：（1）∵焦點在x軸上的橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0），其離心率為
2
2
，
∴
4-b2
4
=
1
2

∴b2=2
∴橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
2
=1；
（2）直線l過點P（0，4），故斜率存在時，設方程為y=kx+4
代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+16kx+28=0
∴△=256k2-112（1+2k2）≥0
∴k≥
14
2
或k≤-
14
2
時，直線l與橢圓M相交
斜率不存在時，直線l與橢圓M相交．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設直線l：y=kx+m與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，M、N是直線l上兩點且
AM
=
MN
=
NB
，曲線C過點M、N．
（1）若曲線C的方程是x2+y2=20，求直線l的方程；
（2）若曲線C是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓且離心率e∈(0，
3
2
)，求直線l斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓的離心率是
3
2
，橢圓上任意一點到兩個焦點距離之和為4．
（1）求橢圓標準方程；
（2）設橢圓長軸的左端點為A，P是橢圓上且位于第一象限的任意一點，AB∥OP，點B在橢圓上，R為直線AB與y軸的交點，證明：
AB
•
AR
=2
OP
2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設α∈（0，
π
2
），方程
x2
sinα
+
y2
cosα
=1表示焦點在x軸上的橢圓，則α∈（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，兩準線間的距離為10．設A（5，0），B（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作直線與橢圓C只有一個公共點D，求過B，D兩點，且以AD為切線的圓的方程；
（3）過點A作直線l交橢圓C于P，Q兩點，過點P作x軸的垂線交橢圓C于另一點S．若
AP
=t
OA
（t＞1），求證：
SB
=t
BQ
．

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