Question

（2013•東城區一模）某班聯歡會舉行抽獎活動，現有六張分別標有1，2，3，4，5，6六個數字的形狀相同的卡片，其中標有偶數數字的卡片是有獎卡片，且獎品個數與卡片上所標數字相同，游戲規則如下：每人每次不放回抽取一張，抽取兩次．
（Ⅰ）求所得獎品個數達到最大時的概率；
（Ⅱ）記獎品個數為隨機變量X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）由題意可知所得獎品個數最大時是同時抽到4與6，其和為10．從6張卡片依次不放回的抽取2張有

A

2 6

種方法，其中抽到2張分別為4和6的方法有

A

2 2

種．利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（II）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率計算與（I）解釋同理．①兩次取得都是奇數，則P（X=0）=

A 2 3

A 2 6

；②兩次中有一次取得是2，而另一次是奇數，
P（X=2）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；③兩次中有一次取得是4，而另一次是奇數，P（X=4）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；④兩次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇數，P（X=6）=

A 2 2 +2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；
⑤兩次取得是2和6，P（X=8）=

A 2 2

A 2 6

；⑥由（I）可得P（X=10）=

1

15

．即可得到分布列．再利用數學期望計算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知所得獎品個數最大時是同時抽到4與6，其和為10，
從6張卡片依次不放回的抽取2張有

A

2 6

種方法，其中抽到2張分別為4和6的方法有

A

2 2

種．
依次所求的概率為：p=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

．
（Ⅱ）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率計算與（I）解釋同理．
①兩次取得都是奇數，則P（X=0）=

A 2 3

A 2 6

=

1

5

；
②兩次中有一次取得是2，而另一次是奇數，P（X=2）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

1

5

；
③兩次中有一次取得是4，而另一次是奇數，P（X=4）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

1

5

；
④兩次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇數，P（X=6）=

A 2 2 +2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

4

15

；
⑤兩次取得是2和6，P（X=8）=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

；
⑥由（I）可得P（X=10）=

1

15

．
于是可得X的分布列如下：

X	0	2	4	6	8	10
p	1 5	1 5	1 5	4 15	1 15	1 15

所以EX=0×

1

5

+2×

1

5

+4×

1

5

+6×

4

15

+8×

1

15

+10×

1

15

=4．

點評：熟練掌握古典概型的意義及概率計算公式、分類討論的思想方法、隨機變量的分布列和數學期望是解題的關鍵．