Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，直線與線段、分別交于點、.

（1）當時，求以為焦點，且過中點的橢圓的標準方程；
（2）過點作直線交于點，記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上；
②圓是否恒過異于點的一個定點?若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由.

Answer 1

(1)(2)①略②.

試題分析：(1)根據題意，，，求出，可得到方程；(2)①解法一：根據題意寫出的坐標，線段的中垂線的交點就是圓心，將圓心坐標代入中，可得證；解法二：設出一般方程，將三點的坐標代入，聯立求解；②根據①，寫出圓系方程，聯立方程解得該定點.
試題解析：(1)設橢圓的方程為,
當時, 的中點為，則                                   1分
而,所以，                                           2分
故橢圓的標準方程為                                           3分
(Ⅱ)①解法一:易得直線，直線
可得,再由,得                      5分
則線段的中垂線方程為,                                         6分
線段的中垂線方程為,                                 7分
由,                                                    8分
解得的外接圓的圓心坐標為                              9分
經驗證,該圓心在定直線上                                   10分
②由①可得圓C的方程為                  11分
該方程可整理為,
則由,解得或,                        13分
所以圓恒過異于點的一個定點,該點坐標為                      14分
解法二: 易得直線，直線           5分
所以可得,                                            6分
再由,得                                               7分
設的外接圓的方程為,
則,                                   8分
解得圓心坐標為,                                          9分
經驗證,該圓心在定直線上                                10分
②由①可得圓C的方程為                    11分
該方程可整理為,
則由,解得或,                           13分
所以圓恒過異于點的一個定點,該點坐標為                         14分