Question

如圖：在空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點．
（1）求證：平面ABE⊥平面BCD；
（2）若F是AB的中點，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的長．

Answer 1

分析：對于（1），根據條件，只需證明平面BCD有一條直線垂直于平面ABE，而等腰三角形ACD、BCD有共同底邊CD，E為中點，因此容易證明CD與平面ABE垂直，從而問題得到解決；
對于（2）由BC=AD，可以判定三角形ABE為等腰三角形，由AB=8，AE=10，根據勾股定理可以解決EF的長度問題．

解答：解：（1）證明：因為AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點，
所以BE⊥CD，且AE⊥CD，又AE∩BE=E，
所以CD⊥平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCD（5分）
（2）因為E是CD的中點，所以CE=ED，由（1）知BE⊥CD，
且AE⊥CD，所以BC²=BE²+CE²=BE²+ED²，AD²=AE²+ED²，
因為BC=AD，所以AE=BE（10分）
又因為F是AB的中點，所以AF=FB=4，且EF⊥AB，
所以EF=

AE2-AF2

=

102-42

=2

21

（12分）

點評：本題主要考查面面垂直的判定，其思路是：將面面垂直轉化為線面垂直進行證明，在一個平面內尋找另一個平面的垂線，這種降維轉化的思想在解決線面關系、面面關系時非常重要．