Question

已知等比數列滿足．
（1）求數列的通項公式；
（2）在與之間插入個數連同與按原順序組成一個公差為（）的等差數列．
①設，求數列的前和；
②在數列中是否存在三項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

Answer 1

 （1）；（2）①②不存在.

試題分析：（1）要看清問題的實質就是，那么這就是我們熟悉的問題，利用，轉化為和公比的式子，可解出，再由題目條件得出關于首項的關系式，求出等比數列的首項即可求出通項公式；（2）①由新數列的的首首項和末項及項數可求出公差，根據其表達式的結構特征，再考慮求，本題可用錯位相減法；②此類問題，一般先假設存在符合條件的數列，解出來則存在，如果得到矛盾的結果，則假設錯誤，這樣的數列則不存在.
試題解析：（1）設數列的公比為，由已知可得，                1分
由已知，，所以，
兩式相減得，，解得，                       3分
又，解得，                                    5分
故                                                      6分
（2）由（1），知   7分
①，        8分
，
    10分
故                                                 11分
②假設在數列中存在三項（其中成等差數列）成等比數列，
則，即．                         13分
因為成等差數列，所以，（*）代入上式得： ，（**）
由（*），（**），得，這與題設矛盾．                              15分
所以，在數列中不存在三項（其中成等差數列）成等比數列．  16分