Question

若函數f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a，當x∈[-

π

3

，

2π

3

]時f（x）=0恒有解，則實數a的取值范圍是

[-4，5]

．

Answer 1

分析：由f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a=-4（1-cos²x）+4cosx+1-a=4(cosx+

1

2

)2-4-a，由f（x）=0恒有解可得4(cosx+

1

2

)2-4=a在x∈[-

π

3

，

2π

3

]恒有解，結合二次函數的性質可求當x∈[-

π

3

，

2π

3

]時4(cosx+

1

2

)2-4的范圍即a的范圍

解答：解：∵f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a
=-4（1-cos²x）+4cosx+1-a
=4cos²x+4cosx-3-a
=4(cosx+

1

2

)2-4-a
又∵f（x）=0恒有解
∴0=4(cosx+

1

2

)2-4-a即4(cosx+

1

2

)2-4=a在x∈[-

π

3

，

2π

3

]恒有解
由x∈[-

π

3

，

2π

3

]可得cosx∈[-

1

2

，1]
∴-4≤4(cosx+

1

2

)2-4≤5
∴-4≤a≤5
故答案為：[-4，5]

點評：本題主要考查了三角函數的同角平方關系的應用，由角的范圍求解三角函數的范圍，及二次函數在閉區間上的值域的 求解，屬于函數知識的綜合應用．