Question

在邊長為1的正三角形ABC中，向量

BD

=x

BA

，

CE

=y

CA

，x＞0，y＞0，且x+y=1，則

CD

•

BE

的最大值為

-

3

8

．

Answer 1

分析：建立平面直角坐標(biāo)系，確定A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)點D，E坐標(biāo)，由

BD

=x

BA

，得x₁；由

CE

=y

CA

，得x₂，y₂；計算

CD

•

BE

的值即可．

解答：解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點A（-

1

2

，0），B（

1

2

，0），C（0，

3

2

）；
設(shè)點D（x₁，0），E（x₂，y₂），∵

BD

=x

BA

，∴（x₁-

1

2

，0）=x（-1，0），∴x₁=-x+

1

2

；
∵

CE

=y

CA

，∴（x₂，y₂-

3

2

）=y（-

1

2

，-

3

2

），∴x₂=-

1

2

y，y₂=

3

2

-

3

2

y；
∴

CD

•

BE

=（x₁，-

3

2

）•（x₂-

1

2

，y₂）=x₁（x₂-

1

2

）-

3

2

y₂=（-x+

1

2

）•（-

1

2

y-

1

2

）-

3

2

（

3

2

-

3

2

y）
=

1

2

xy+

1

2

（x+y）-1≤

1

2

•(

x+y

2

)2-

1

2

=-

3

8

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

1

2

時取“=”；
故答案為：-

3

8

．

點評：本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的運算性質(zhì)和向量問題的基本解法，解題時要注意向量運算與數(shù)的運算區(qū)別，以免出錯．