Question

 （本題滿分12分）設正項數列的前項和，且滿足.

（Ⅰ）計算的值，猜想的通項公式，并證明你的結論；

（Ⅱ）設是數列的前項和，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；；.猜想，用數學歸納法證明；（Ⅱ）先利用數列知識求和，然后利用放縮法證明或者利用數學歸納法證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當n=1時，，得；，得；

，得.猜想                2’

證明：（ⅰ）當n=1時，顯然成立.

（ⅱ）假設當n=k時，                       1’

則當n=k+1時，

結合，解得                   2’

于是對于一切的自然數，都有             1’

（Ⅱ）證法一：因為，         3’

  .3’

證法二：數學歸納法

證明：（ⅰ）當n=1時，，，           1’

（ⅱ）假設當n=k時，            1’

則當n=k+1時，

要證：

只需證：

由于

所以               3’

于是對于一切的自然數，都有               1’

考點：本題考查了數學歸納法的運用

點評：運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。