Question

（本小題滿分18分）已知函數，
（Ⅰ）若，求函數的極值；
（Ⅱ）設函數，求函數的單調區間；
(Ⅲ)若在（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）在處取得極小值1；（Ⅱ）時，在上單調遞減，在上單調遞增；  時，函數在上單調遞增。
(Ⅲ) 或.

試題分析：（Ⅰ）的定義域為，
當時，，

		1
	—	0	+
		極小

 
所以在處取得極小值1.
（Ⅱ），
    
①當時，即時，在上，在上，
所以在上單調遞減，在上單調遞增；  
②當，即時，在上，
所以函數在上單調遞增.       
（III）在上存在一點，使得成立，即 在上存在一點，使得，
即函數在上的最小值小于零.
由（Ⅱ）可知
①當，即時，在上單調遞減，
所以的最小值為，由可得，
因為，所以；
②當，即時， 在上單調遞增，
所以的最小值為，由可得；
③當，即時， 可得的最小值為，
因為，所以
故   
此時，不成立.   
綜上討論可得所求的取值范圍是：或.
點評：①極值點的導數為0，但導數為0的點不定是極值點。②利用導數研究函數的單調性時，一定要先求函數的定義域。③注意恒成立問題與存在性問題的區別。