Question

以下結論正確的是（　　）

• A．“sinα=

  1

  2

  ”是“cos2α=

  1

  2

  ”的充分而不必要條件
• B．函數f（x）=2^x+3x的零點在區間（0，1）內
• C．函數y=sin2x的圖象向左平移

  π

  3

  個單位后，得到函數y=sin(2x+

  π

  3

  )圖象
• D．對于直線m，n和平面α，若m⊥α，m⊥n，則n∥α．

Answer 1

分析：通過三角恒等變換，得到A正確；根據函數零點的存在性定理，得到B不正確；根據正弦函數的圖象變換，得到C不正確；根據空間中線面位置關系的有關結論，得到D不正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對于A，由于cos2α=

1

2

，則1-2sin²α=

1

2

，解得sinα=±

1

2

，
當sinα=

1

2

時，cos2α=1-2sin²α=

1

2

，
故“sinα=

1

2

”是“cos2α=

1

2

”的充分而不必要條件，故A正確；
對于B，由于f（0）=2⁰+3×0=1＞0，f（1）=2¹+3×1=5＞0
根據函數零點的存在性定理，得到函數f（x）=2^x+3x在區間（0，1）內不存在零點，故B不正確；
對于C，由于函數y=sin2x的圖象向左平移

π

3

個單位后，
得到函數y=sin2（x+

π

3

）的圖象，不是y=sin(2x+

π

3

)的圖象，故C不正確；
對于D，對于直線m，n和平面α，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α．故D不正確．
故答案為：A

點評：本題通過命題真假的判斷為載體，考查了三角函數的恒等變換，三角函數的圖象變換和充分必要條件的判斷等知識，屬于基礎題．