Question

已知函數f（x）=mx³+3x²-3x，m∈R．
（1）若函數f（x）在x=-1處取得極值，求m的值；
（2）設m＜0，若函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f′（-1）=0，代入即可求出m的值．
（2）若函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，則存在區間I⊆（2，+∞），使得x∈I時，f′（x）＞0，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=3mx²+6x-3．
因為函數f（x）在x=-1處取得極值，所以f'（-1）=0，
所以3m-6-3=0．
解得m=3．
（2）當m＜0時，f'（x）=3mx²+6x-3，是開口向下的拋物線，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子區間使f'（x）＞0，
應滿足

m＜0 - 1 m ≥2 f′(- 1 m )＞0

或

m＜0 - 1 m ＜2 f′(2)＞0

解得-

1

2

≤m＜0或-

3

4

＜m＜-

1

2

，
所以m的取值范圍是(-

3

4

，0)

點評：本題的考點是函數在某點取極值的條件，考查函數存在極值的性質：函數在x=x₀處取得極值，則f′（x₀）=0，但f′（x₀）=0，函數在x=x₀處不一定是極值點；區分函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間與函數f（x）在（2，+∞）單調遞增是解題的關鍵．