Question

已知函數f( x) 的定義域為[0，1]，且滿足下列條件： ①對于任意x∈[0，1]，總有f(x)≥3，且f(x)＝4； ②若x1≥0，x2≥0,x1＋x2≤1，則有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－3 (1) 求f( 0) 的值； (2) 求證：f(x)≤4； (3) 當時，試證明：．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：令， 由①對于任意[0,1]，總有，∴1分 又由②得即2分 ∴3分
(2)	解：任取且設則 因為，所以，即∴．5分 ∴當[0,1]時，．6分
(3)	證明：先用數學歸納法證明： ①當n＝1時，，不等式成立；7分 ②假設當n＝k時， 由 得即 所以，當n＝k＋1時，不等式成立；10分 由①、②可知，不等式對一切正整數都成立．11分 于是，當時，， 所以，13分