Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點坐標為F（2，0），點P的坐標為（m，0）（m≠0），設過點P的直線l交拋物線C于A，B兩點，點P關于原點的對稱點為點Q．
（1）當直線l的斜率為1時，求△QAB的面積關于m的函數表達式．
（2）試問在x軸上是否存在一定點T，使得TA，TB與x軸所成的銳角相等？若存在，求出定點T 的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將拋物線C的方程y²=8x與直線l的方程y=x-m聯立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理求得弦|AB|，從而可求得△QAB的面積關于m的函數表達式；
（2）將y=k（x-m）與y²=8x聯立，設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），設點T（t，0）存在，由TA，TB與x軸所成的銳角相等可得k_TA+k_TB=0，利用韋達定理，即可求得t=-m．

解答：解：（1）由條件知，拋物線C的方程為y²=8x，直線l的方程為y=x-m，點Q（-m，0），
由

y=x-m y2=8x

得：x²-2（m+4）x+m²=0．①
由①式判別式△＞0，得m＞-2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2（m+4），x₁x₂=m²，
|AB|=

1+12

|x₁-x₂|=

2

4(m+4)2-4m2

=8

m+2

．
又∵點Q（-m，0）到直線l₁的距離d=

2

|m|，
∴S_△QAB=

1

2

2

|m|•8

m+2

=4

2

m3+2m2

，其中m＞-2且m≠0…7
（2）方程為y=k（x-m），由

y=k(x-m) y2=8x

得：k²x²-2（mk²+4）x+k²m²=0．②
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），則x₃+x₄=

2mk2+8

k2

，x₃x₄=m²．
設點T（t，0）存在，TA，TB與x軸所成的銳角相等，k_TA+k_TB=0，

y3

x3-t

+

y4

x4-t

=0，
即

k(x3-m)

x3-t

+

k(x4-m)

x4-t

=0，
整理得：2x₃x₄-（m+t）（x₃+x₄）+2mt=0，
∴2m²-（m+t）

2mk2+8

k2

+2mt=0，
∴t=-m．
∴符合條件的點T存在，其坐標為T（-m，0）…15

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查曲線方程的聯立，韋達定理的使用，弦長公式的應用，突出考查化歸思想與方程思想，屬于難題．