Question

已知動圓P過點N(

5

，0)并且與圓M：(x+

5

)2+y2=16相外切，動圓圓心P的軌跡為W，軌跡W與x軸的交點為D．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設直線l過點（m，0）（m＞2）且與軌跡W有兩個不同的交點A，B，求直線l斜率k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若

DA

•

DB

=0，證明直線l過定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意可知|PM|-|PN|=4由雙曲線的定義可知W是以M，N為焦點的雙曲線的右支，則曲線方程可得．
（2）設出直線l的方程，與雙曲線方程聯立消去y，設A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，x₁，x₂和判別式確定k的范圍．
（3）利用A，B的坐標表示出

DA

•

DB

，根據結果為0整理求得m，則直線的方程可得，根據直線方程可知直線l過定點，定點坐標為(

10

3

，0)．

解答：解：（Ⅰ）由已知|PM|-|PN|=4，|MN|=2

5

，
∴點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，且a=2，c=

5

，b=1．
∴軌跡W的方程為

x2

4

-y2=1(x≥2)．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-m）（m＞2，k≠0）．
由

y=k(x-m) x2 4 -y2=1

得（1-4k²）x²+8k²mx-4k²m-4=0．
設A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2m

4k2-1

＞0，①
x1x2=

4k2m2+4

4k2-1

＞0，②
△=64k⁴m²+4（1-4k²）（4k²m²+4）＞0．③
由①②③得4k²＞1．
∴直線l斜率k的取值范圍是(-∞，-

1

2

)∪(

1

2

，+∞)．
（Ⅲ）

DA

•

DB

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）
=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k（x₁-m）k（x₂-m）
=（1+k²）x₁x₂-（2+mk²）（x₁+x₂）+4+k²m²
=

(1+k2)(4k2m2)

4k2-1

-

(2+mk2)8mk2

4k2-1

+4+k2m2．
∵

DA

•

DB

=0，
∴

(1+k2)(4k2m2)

4k2-1

-

(2+mk2)8mk2

4k2-1

+4+k2m2=0，
∴（1+k²）（4k²m²）-（2+mk²）8mk²+（4+k²m²）（4k²-1）=0，
∴20k²-16k²m+3k²m²=0．
∵k≠0，
∴3m²-16m+20=0，解得m=

10

3

，或m=2（舍）．
∴直線l的方程為y=k(x-

10

3

)．
∴直線l過定點，定點坐標為(

10

3

，0)．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．