Question

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求證AC⊥平面DEF；
（2）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．
（3）求平面ABD與平面DEF所成銳二面角的余弦值。

Answer 1

解（證明）（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．
設G為CD的中點，則CG＝，AG＝．
∴，，．
三棱錐D－ABC的表面積為．
（2）取AC的中點H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．
∵AF＝3FC，∴F為CH的中點．
∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在這樣的點N，
當CN＝時，MN∥平面DEF．
連CM，設CM∩DE＝O，連OF．
由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．
∴當CF＝CN時，MN∥OF．∴CN＝．

解析