Question

（2012年高考（上海理））對于數集,其中,,定義向量集

. 若對于任意,存在,使得,則稱X

具有性質P. 例如具有性質P.

(1)若x>2,且,求x的值;

(2)若X具有性質P,求證:1?X,且當xn>1時,x1=1;

(3)若X具有性質P,且x1=1,x2=q(q為常數),求有窮數列的通項公式.

Answer 1

 (1)選取,Y中與垂直的元素必有形式  

所以x=2b,從而x=4  

(2)證明:取.設滿足.

由得,所以、異號.

因為-1是X中唯一的負數,所以、中之一為-1,另一為1,

故1ÎX  

假設,其中,則.

選取,并設滿足,即,

則、異號,從而、之中恰有一個為-1.

若=-1,則,矛盾;

若=-1,則,矛盾.

所以x1=1  

(3)【解法一】猜測,i=1, 2, , n  

記,k=2, 3, , n.

先證明:若具有性質P,則也具有性質P.

任取,、Î.當、中出現-1時,顯然有滿足;

當且時,、≥1.

因為具有性質P,所以有,、Î,使得,

從而和中有一個是-1,不妨設=-1.

假設Î且Ï,則.由,得,與

Î矛盾.所以Î.從而也具有性質P  

現用數學歸納法證明:,i=1, 2, , n.

當n=2時,結論顯然成立;

假設n=k時,有性質P,則,i=1, 2, , k;

當n=k+1時,若有性質P,則

也有性質P,所以.

取,并設滿足,即.由此可得s與t中有且只有一個為-1.

若,則,所以,這不可能;

所以,,又,所以.

綜上所述,,i=1, 2, , n  

【解法二】設,,則等價于.

記,則數集X具有性質P當且僅當數集B關于

原點對稱  

注意到-1是X中的唯一負數,共有n-1個數,

所以也只有n-1個數.

由于,已有n-1個數,對以下三角數陣

 

 

 

注意到,所以,從而數列的通項公式為

,k=1, 2, , n