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動點P(x,y)是拋物線y=x2-2x-1上的點,O為坐標原點,設S=|OP|2,若x=2時,S取極小值,求S的最小值.

思路分析:本題通過建立數學模型,把實際問題轉化為數學問題,然后利用函數求函數的最值.

解:S=|OP|2=x2+y2=x2+(x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1,

則S′=4x3-12x2+6x+4=2(x-2)(2x2-2x-1)=4(x-2)(x-)(x-).

令S′=0,則x1=,x2=,x3=2.

當x變化時,S′,S的變化情況如下表:

x

(-∞,)

(,)

(,2)

2

(2,+∞)

S′

-

0

+

0

-

0

+

S

?↘

極小值

?↗

極大值

↘?

極小值

↗?

∵S的定義域為(-∞,+∞),

∴所求的最小值是兩個極小值中較小的一個.

∵當x=時,S=()4-4()3+3()2+4()+1=,

當x=2時,S=24-4×23+3×22+4×2+1=5,

∴S的最小值為.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在空間直角坐標系O-xyz中，
OP
=x
i
+y
j
+z
k
（其中
i
，
j
，
k
分別為x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量）．有下列命題：
①若
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x＞0，y＞0)且|
OP
-4
j
|=|
OP
+2
i
|，則
1
x
+
2
y
的最小值為2
2

②若
OP
=0
i
+y
j
+z
k
，
OQ
=0
i
+y1
j
+
k
，若向量
PQ
與
k
共線且|
PQ
|=|
OP
|，則動點P的軌跡是拋物線；
③若
OM
=a
i
+0
j
+0
k
，
OQ
=0
i
+b
j
+0
k
，
OR
=0
i
+0
j
+c
k
(abc≠0)，則平面MQR內的任意一點A（x，y，z）的坐標必須滿足關系式
x
a
+
y
b
+
z
c
=1；
④設
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x∈[0，4]，y∈[-4，4])，
OM
=0
i
+y1
j
+
k
(y1∈[-4，4])，
ON
=x2
i
+0
j
+0
k
(x2∈[0，4])，若向量
PM
⊥
j
，
PN
與
j
共線且|
PM
|=|
PN
|，則動點P的軌跡是雙曲線的一部分．
其中你認為正確的所有命題的序號為
②③④
②③④
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A(-2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足·=x2,則點P的軌跡是(　　)

A.圓         B.橢圓       C.雙曲線         D.拋物線

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A(-2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足·=x2,則點P的軌跡是(    )

A.圓              B.橢圓               C.雙曲線               D.拋物線

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年四川省成都市高三第二次診斷性檢測理科數學試卷（解析版） 題型：填空題

在空間直角坐標系O-xyz中，（其中i、j、k分別為X軸、y軸、z軸正方向上的單位向量).有下列命題：

①若且，則的最小值為；

②設，若向量與k共線且，則動點P的軌跡是拋物線；

③若，則平面MQR內的任意一點A (x,y，z)的坐標必然滿足關系式；

④設，，若向量與j共線且，則動點P的軌跡是雙曲線的一部分.    其中你認為正確的所有命題的序號為. _______

 

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