Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求O點到面ABC的距離；
（2）求異面直線BE與AC所成的角；
（3）求二面角E-AB-C的大小．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點D，連AD、OD，根據OB=OC，判斷出OD⊥BC、AD⊥BC，進而可知BC⊥面OAD．過O點作OH⊥AD于H，則OH⊥面ABC，OH的長就是所求的距離．進而根據OA⊥OB，OA⊥OC判斷出OA⊥面OBC，則OA⊥OD，利用勾股定理求得AD，進而在角三角形OAD中，利用OH=

OA•OD

AD

求得OH．
（2）取OA的中點M，連EM、BM，則EM∥AC，?BEM是異面直線BE與AC所成的角，根據題意求得EM，BE和BM，進而利用余弦定理求得cos∠BEM，則異面直線BE與AC所成的角可求得．
（3）連CM并延長交AB于F，連OF、EF．由OC⊥面OAB，得OC⊥AB，又OH⊥面ABC，所以CF⊥AB，EF⊥AB，則?EFC就是所求的二面角的平面角．在Rt△OAB中，根據OF=

OA•OB

AB

求得OF，進而在Rt△OEF中，利用勾股定理求得EF，進而求得sin∠EFG，則∠EFG可求．

解答：解：（1）取BC的中點D，連AD、OD
因為OB=OC，則OD⊥BC、AD⊥BC，
∴BC⊥面OAD．
過O點作OH⊥AD于H，則OH⊥面ABC，OH的長就
是所求的距離．又BC=2

2

，OD=

OC2-CD2

=

2

，又OA⊥OB，OA⊥OC
∴OA⊥面OBC，則OA⊥OD
AD=

OA2+OD2

=

3

，在直角三角形OAD中，
有OH=

OA•OD

AD

=

2

3

=

6

3

（2）取OA的中點M，連EM、BM，
則EM∥AC，?BEM是異面直線BE與AC
所成的角，易求得EM=

5

2

，BE=

5

，
BM=

17

2

．由余弦定理可求得cos?BEM=

2

5

，

∴∠BEM=arccos

2

5

（3）連CH并延長交AB于F，連OF、EF．
由OC⊥面OAB，得OC⊥AB，又OH⊥面ABC，所以CF⊥AB，EF⊥AB，
則?EFC就是所求的二面角的平面角．
作EG⊥CF于G，則EG=

1

2

OH=

6

6

，在Rt△OAB中，OF=

OA•OB

AB

=

2

5

在Rt△OEF中，EF=

OE2+OF2

=

1+ 4 5

=

3

5

∴sin∠EFG=

EG

EF

=

6 6

3 5

=

30

18

∴

30

18

∠EFG=arcsin

30

18

．

點評：本題主要考查了兩面角的計算，點線面的距離計算．考查了學生綜合分析問題的能力和解決問題的能力．