Question

若函數f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值為a的函數，記為g（a）．
（1）寫出g（a）的表達式；
（2）求能使g（a）=

1

2

的a的值，并求出a取此值時，f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先對函數解析式進行配方，討論對稱軸與區間[-1，1]的位置關系，從而求出函數的最小值，即可求出g（a）的表達式；
（2）若g（a）=

1

2

，則g（a）只能在〔-2，2〕內解方程，從而求出a的值，并求出此時的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=2（cosx-

a

2

）²-

1

2

a²-2a-1
∴g（a）=

1-4a    a＞2 - 1 2 a2-2a-1      -2≤a≤2 1                   a＜-2

（2）若g（a）=

1

2

，則g（a）只能在〔-2，2〕內解方程-

1

2

a²-2a-1=

1

2

得a=-1或a=-3，
∴a=-1
此時f（x）=2（cosx+

1

2

）²+

1

2

，當cosx=1時，f（x）有最大值5

點評：本題主要考查了三角函數的最值，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．