Question

袋中裝有10個(gè)大小相同的小球，其中黑球3個(gè)，白球n，（4≤n≤6）個(gè)，其余均為紅球；
（1）從袋中一次任取2個(gè)球，如果這2個(gè)球顏色相同的概率是

4

15

，求紅球的個(gè)數(shù)．
（2）在（1）的條件下，從袋中任取2個(gè)球，若取一個(gè)白球記1分，取一個(gè)黑球記2分，取一個(gè)紅球記3分，用ξ表示取出的兩個(gè)球的得分的和；
①求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望Eξ．^
②記“關(guān)于x的不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)集R”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)從袋中一次任取2個(gè)球，如果這2個(gè)球顏色相同的概率是

4

15

建立等式關(guān)系，求出n的值，從而求出紅球的個(gè)數(shù)．
（2）①ξ的取值為2，3，4，5，6，然后分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式解之即可；
②根據(jù)關(guān)于x的不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)集R求出ξ的值，從而事件A發(fā)生的概率為P（ξ=2）+P（ξ=3），即可求出所求．

解答：解：（1）從袋中一次任取2個(gè)球，如果這2個(gè)球顏色相同的概率是

C 2 3 + C 2 n + C 2 7-n

C 2 10

=

4

15

即n²-7n-12=0解得n=4
∴紅球的個(gè)數(shù)7-4=3個(gè)
（2）①ξ的取值為2，3，4，5，6
P（ξ=2）=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

，P（ξ=3）=

C 1 3 • C 1 4

C 2 10

=

4

15

P（ξ=4）=

C 2 4 + C 1 3 • C 1 3

C 2 10

=

1

3

，P（ξ=5）=

C 1 4 C 1 3

C 2 10

=

4

15

，P（ξ=6）=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

分布列如下表：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 15	4 15	1 3	4 15	1 15

Eξ=2×

1

15

+3×

3

15

+4×

1

3

+5×

4

15

+6×

1

15

=

19

5

②∵關(guān)于x的不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)集R
∴

ξ＞0 △=ξ2-4ξ＜0

解得0＜ξ＜4即ξ=2，3
∴事件A發(fā)生的概率為P（ξ=2）+P（ξ=3）=

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了不等式恒成立問題，屬于中檔題．