Question

已知函數= （，
（1）當時，判斷函數在定義域上的單調性；
（2）若函數與的圖像有兩個不同的交點，求的取值范圍。
（3）設點和（是函數圖像上的兩點，平行于的切線以為切點，求證.

Answer 1

（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）；（3）證明見解析．

解析試題分析：
解題思路：（1）求導，利用導數的正負確定函數的單調區間；（2）構造函數，將圖像的交點個數轉化為函數的零點個數，通過函數的極值的正負求參數的值；（3）構造函數，利用放縮法合理轉化.
規律總結：利用導數研究函數的單調性、極值、最值及與函數有關的綜合題，都體現了導數的重要性；此類問題往往從求導入手，思路清晰；但綜合性較強，需學生有較高的邏輯思維和運算能力.
試題解析：(1)記，則的定義域為.
當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增.
由得，即，
令，；
當時，，則單調遞增，且；
當時，，則單調遞減，且，
所以在處取到最大值；
故要使與有兩個不同的交點，只需.
(3）由已知：，所以
由，故
同理
綜上所述得.
考點：1.函數的單調性；2.函數的零點；3.放縮法.