Question

已知定義在R上的可導函數y=f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（-x），且當x≠0時，有x•f′（x）＜0，現設a=f（-sin32°），b=f（cos32°），則實數a，b的大小關系是

a＞b

．

Answer 1

分析：根據當x≠0時，有x•f′（x）＜0，則當x＞0時，f′（x）＜0，即可得f（x）的單調性，再根據對任意x∈R都有f（x）=f（-x），即可得f（x）為偶函數，利用偶函數的性質，將a=f（-sin32°）轉化為a=f（sin32°），b=f（cos32°），利用函數f（x）的單調性，即可判斷出a與b的大小關系．

解答：解：∵當x≠0時，有x•f′（x）＜0，
∴當x＞0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調遞減函數，
∵函數y=f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（-x），
∴f（x）為偶函數，
∴a=f（-sin32°）=f（sin32°），
∵sin32°＜cos32°，且f（x）在（0，+∞）上是單調遞減函數，
∴f（sin32°）＞f（cos32°），
∴a＞b．
故答案為：a＞b．

點評：本題考查了函數的性質，偶函數的定義，函數的單調性的應用．考查了利用利用導數研究函數的單調性，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．利用導數研究函數問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．