Question

已知曲線S：y=3x-x³及點P（2，2）．
（1）求過點P的切線方程；
（2）求證：與曲線S切于點（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線與S至少有兩個交點．

Answer 1

分析：（1）欲求在點（2，2）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先設與曲線S切于點（x₀，y₀）的切線方程為：y-y₀=（3-3x₀²）（x-x₀），與曲線S的方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，再利用根的判別即可求得方程根的個數，從而解決問題．

解答：解：（1）解設切點為（x₀，y₀），則y₀=3x₀-x₀³．
又f′（x）=3-3x²，
∴切線斜率k=

y0-2

x0-2

=3-3x₀²，
即3x₀-x₀³-2=（x₀-2）（3-3x₀²），
∴（x₀-1）[（x₀-1）²-3]=0，
解得x₀=1或x₀=1±

3

，
相應的斜率k=0或k=-9±6

3

，
∴切線方程為y=2或y=（-9±6

3

）（x-2）+2．
（2）證明：與曲線S切于點（x₀，y₀）的切線方程可設為
y-y₀=（3-3x₀²）（x-x₀），
與曲線S的方程聯立，消去y，
得3x-x³-y₀=3（1-x）•（x-x₀），
即（x-x₀）²（x+2x₀）=0，則x=x₀或x=-2x₀，
因此，與曲線S切于點（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線，與S至少有兩個交點．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．