Question

如圖，已知圓與軸負半軸的交點為. 由點出發的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點

（1）當時，試用表示點的坐標；

（2）當時，求證：“射線的斜率為有理數”是“點為單位圓上的有理點”的充要條件；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數的點為有理點.我們知道，一個有理數可以表示為，其中、均為整數且、互質）

（3）定義：實半軸長、虛半軸長和半焦距都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”.

當為有理數且時，試證明：一定能構造偶數個“整勾股雙曲線”(規定：實軸長和虛軸長都對應相等的雙曲線為同一個雙曲線)，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點的橫坐標、縱坐標和半徑的數值構成. 說明你的理由并請嘗試給出構造方法.

Answer 1

（1）  （2）證明略  （3）略

解析:

（1）解：設點的坐標為. 由題意，點的坐標為，

于是可設射線的方程為，

代入圓的方程可得：…①

方程①中，一個解必為，則由根與系數關系可知

點的橫坐標為；代入直線方程可得.所以，點的坐標即為.

（2）充分性：設射線的斜率（其中、均為整數且、互質）

則由（1）可知，.

因為、均為整數，所以、必為一個有理數，從而點必為一個有理點.

必要性：若點為有理點，則可設，（其中、、、均為整數且和互質、和互質）

于是，，因為、、、均為整數，所以必為一個有理數.

（3）證：設點的坐標為.當時，點必定落在第一象限的四分之一圓周上，即，.

而由，所以的橫坐標、縱坐標以及圓的半徑必能構成某個雙曲線的一組實半軸長、虛半軸長和半焦距的數據. 由（2）結論可知，

此時點的坐標應為其中、此時均為正整數且、互質.

于是，只要構造圓半徑（其中為正整數）時，則會有

,，它們都為正整數，且滿足.

因此，對于斜率為（其中、均為整數，且、互質）的斜線，只需確定圓的半徑滿足（其中為正整數），則必定能構造“整勾股雙曲線”滿足題意.

特別地，因為當時，點坐標必為，而此時射線的斜率為，不是有理數.所以，構造出的雙曲線一定不是等軸雙曲線，

即由，可構造的“整勾股雙曲線”的實半軸長、虛半軸長和半焦距長可由和構成，且個數一定為偶數個.