Question

已知（1-ax）ⁿ展開式的第r，r+1，r+2三項的二次式系數構成等差數列，第n+1-r與第n+2-r項的系數之和為0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項的二項式系數之比為1：2．
（1）求（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的中間項；
（2）求（1-ax）ⁿ的展開式中系數最大的項．

Answer 1

解：（1-ax）ⁿ展開式的第r，r+1，r+2三項的二項式系數構成等差數列，，…①；
第n+1-r與第n+2-r項的系數之和為0，…②；
而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項的二項式系數之比為1：2．即，…③；
由③得n=3r+1，…④
由①得…⑤，
由④⑤解得r=2，n=7，
把r=2，n=7代入②解得a=3．
（1）（1-3x）⁸展開式的中間項為=5670x⁴；
（2）求（1-3x）⁷的展開式中系數最大的項在奇數項中，分別是第一項=1；第三項=189x²，
第五項=35×3⁴x⁴=2835x⁴，第七項=63×3⁴x⁶=5103x⁶．
（1-ax）ⁿ的展開式中系數最大項是第七項=5103x⁶．
分析：（1）利用展開式的第r，r+1，r+2三項的二項式系數構成等差數列，第n+1-r與第n+2-r項的系數之和為0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項的二項式系數之比為1：2．列出方程即可求出a，n的值，然后求出中間項．
（2）利用二項式系數的性質，直接求出展開式的系數的最大項即可．
點評：本題是中檔題，考查二項式定理系數的性質，考查組合數的求法，考查計算能力．