Question

已知橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F₂，交橢圓于點A、B．
（ⅰ）若滿足（O為坐標原點），求△AOB的面積；
（ⅱ）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由焦點坐標得出c=1，結合離心率得出，求出b 值，最后寫出橢圓C的方程即可；
（II）（i）由題中條件：“”結合向量的數量積，代入三角形面積公式求得答案．
（ii）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角，再利用方程的思想，求出m的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）c=1，又，∴
∴b²=a²-c²=3-1=2
所以，橢圓C的方程是
（Ⅱ）（ⅰ）∵，∴，
∴，∴．
（ⅱ）假設存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角，
依題意可知直線l、PA、PB斜率存在且不為零．
不妨設P（m，0），直線l的方程為y=k（x-1），k≠0
由消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
∵直線PA、PB的傾斜角互為補角，
∴k_PA+k_PB=0對一切k恒成立，即對一切k恒成立
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入上式可得2x₁x₂+2m-（m+1）（x₁+x₂）=0對一切k恒成立
∴對一切k恒成立，
即2m-6=0，∴m=3，
∴存在P（3，0）使得直線PA、PB的傾斜角互為補角．
點評：本小題考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力；注意（Ⅲ）的處理存在性問題的一般方法，首先假設存在，進而根據題意、結合有關性質，化簡、轉化、計算，最后得到結論．