Question

(本小題14分)如圖，在平面直角坐標系xoy中，設點F(0, p)(p>0), 直線l : y= －p, 點P在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點, 過R、P分別作直線、，使， .
(1) 求動點的軌跡的方程；
（2）在直線上任取一點做曲線的兩條切線，設切點為、，求證：直線恒過一定點.

Answer 1

解：(1) ．（2）見解析.

試題分析：（Ⅰ）先判斷RQ是線段FP的垂直平分線，從而可得動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線；
（Ⅱ）設M（m，-p），兩切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線方程，從而可得x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根，進一步可得直線AB的方程，即可得到直線恒過定點（0，p）；
解：(1)依題意知，點是線段的中點，且⊥，

∴是線段的垂直平分線． ∴．
故動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
其方程為：．
（2）設，兩切點為， 
∴兩條切線方程為xx=2p(y+y)    ① 
xx=2p(y+y)   ②
對于方程①，代入點, 又, 整理得：, 同理對方程②有, 即為方程的兩根.
∴  ③
設直線的斜率為，
所以直線的方程為，展開得：，代入③得：,  ∴直線恒過定點.
點評：解決該試題的關鍵是正確運用圓錐曲線的定義和韋達定理,來表示根與系數的關系的運用。