Question

如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角B-AO-C是直二面角．動點D在斜邊AB上．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）設CD與平面AOB所成角的最大值為α，求tanα值．

Answer 1

分析：（1）利用二面角的定義、線面與面面垂直的判定與性質即可得出；
（2）利用線面角的定義及其含30°角的直角三角形的邊角關系即可得出．

解答：證明：（1）由已知CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
∴∠BOC=

π

2

，∴OC⊥OB．
∵OA∩OB=O，∴OC⊥平面AOB，
∴平面COD⊥平面AOB；
（2）由（1）可知CO⊥平面OAB，∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角．
∴tan∠CDO=

CO

OD

，
∵OC=OB=2，
∴當OD⊥AB時，OD取得最小值=OB•sin60°=

3

，此時∠CDO取得最大值α，
且tanα=

2

3

=

2 3

3

．

點評：熟練掌握二面角的定義、線面與面面垂直的判定與性質、線面角的定義及其含30°角的直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．