Question

已知動圓C經過點F（0，1），并且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點，則圓C的面積（　　）

• A、有最大值為π
• B、有最小值為π
• C、有最大值為4π
• D、有最小值為4π

Answer 1

分析：因為直線3x-4y+20=0與圓C有公共點，則直線與圓相切或相交，而點F（0，1）在直線3x-4y+20=0的下方，所以直線3x-4y+20=0與圓相切時圓最小，再求得此時的半徑，從而求得面積．
另外，本題還可根據由于圓經過點F（0，1）且與直線y=-1相切，所以圓心C到點F與到直線y=-1的距離相等，由拋物線的定義知點C的軌跡方程為x²=4y，根據點、直線間的距離公式列出方程求r的最值來求解本題．

解答：解法一：設圓的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
則根據題意：

(0-a)2+(1-b)2=r2 |b+1 =r |3a-4b+20 5 =r

解得：r=2
故最小的圓的面積是4π
解法二：由拋物線的定義知點C的軌跡方程為x²=4y，設C點坐標為（x，

x2

4

），
∵⊙C過點F，∴半徑r=|CF|=

(x-0)2+( x2 4 -1)2

=

x2

4

+1，
直線3x-4y+20=0圓C有公共點，即轉化為點（x，

x2

4

）到直線3x-4y+20=0的距離d=

|3x-4× x2 4 +20|

5

≤

x2

4

+1
解得x≥

10

3

或x≤-2，從而得圓C的半徑r=

x2

4

+1≥2，故圓的面積有最小值4π．

點評：本題主要考查點與圓、線與圓的位置關系在求圓的方程中的應用．