Question

設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

(1)求a2的值；

(2)求數列{an}的通項公式；

(3)證明：對一切正整數n，有.

 

Answer 1

（1）a2＝4.（2）an＝n2(n≥2)，（3）見解析

【解析】(1)【解析】
∵＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

∴當n＝1時，2a1＝2S1＝a2－－1－＝a2－2.

又a1＝1，∴a2＝4.

(2)【解析】
∵＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

∴2Sn＝nan＋1－n3－n2－n＝nan＋1－，①

∴當n≥2時，2Sn－1＝(n－1)an－，②

由①－②，得2Sn－2Sn－1＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)．

∵2an＝2Sn－2Sn－1，

∴2an＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)，∴－＝1.

∴數列是以首項為＝1，公差為1的等差數列.

∴＝1＋1×(n－1)＝n，∴an＝n2(n≥2)，

當n＝1時，上式顯然成立．∴an＝n2，n∈N*.

(3)證明：由(2)知，an＝n2，n∈N*，

①當n＝1時，＝1<，∴原不等式成立.

②當n＝2時，＝1＋<，∴原不等式亦成立.

③當n≥3時，∵n2>(n－1)·(n＋1)，∴，

∴

<1＋

＝1＋

＝1＋

＝1＋＝，

∴當n≥3時，原不等式亦成立.

綜上，對一切正整數n，有.