Question

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當x∈[-1，0]時，函數(shù)解析式是f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表達式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0，求得a的值，可得當x∈[-1，0]時，函數(shù)解析式是f（x）=

1

4x

-

1

2x

．設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，利用奇函數(shù)的定義可得f（x）=2^x-4^x，綜上可得f（x） 的解析式．
（2）當x∈[0，1]時，設t=2^x，則1≤t≤2，f（x）=-4^x+2^x，利用二次函數(shù)的性質求得此時函數(shù)的
值域為[0，2]．再由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱可得，可得當x∈[-1，0]時，函數(shù)的值域為[-2，0]．
綜上可得，函數(shù)在[-1，1]上的值域．

解答：解：（1）由奇函數(shù)的定義和性質可得，f（0）=0，即 1-a=0，a=1，
故當x∈[-1，0]時，函數(shù)解析式是f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)=

1

4x

-

1

2x

．
設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，由題意可得 f（-x）=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x=-f（x），
∴f（x）=2^x-4^x．
綜上可得，f（x）=

1 4x - 1 2x  ，-1≤x≤0 2x- 4x， 0≤x≤1

．
（2）當x∈[0，1]時，設t=2^x，則 1≤t≤2，f（x）=-4^x+2^x=-t²+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
故當t=1時，f（x）取得最大值為 0，當t=2時，函數(shù)f（x）取得最小值為-2，
故此時函數(shù)的值域為[-2，0]．
再由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱可得，可得當x∈[-1，0]時，函數(shù)的值域為[0，2]．
綜上可得，函數(shù)在[-1，1]上的值域為[-2，2]．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調性、奇函數(shù)的定義和性質，屬于中檔題．