Question

(2006·湖南益陽)如下圖，已知長方體，AB=2，，直線BD與平面所成的角為30°，AE垂直BD于E，F為的中點．

(1)求異面直線AE與BF所成的角的余弦值；

(2)求平面BDF與平面所成的銳二面角的余弦值；

(3)求點A到平面BDF的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：在長方體中，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，由已知AB=2，，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，F(1，0，1)． 又AD⊥平面，從而BD與平面所成的角為∠DBA=30°，又AB=2，AE⊥BD，AE=1，，從而易得，． (1)因為，， 所以．易知異面直線AE、BF所成的角的余弦值是． (2)易知平面的一個法向量m=(0，1，0)，設n(x，y，z)是平面BDF的一個法向量，． 由 即，所以，即平面BDF與平面所成的銳二面角的余弦值是． (3)點A到平面BDF的距離，即在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值， 所以距離．所以點A到平面BDF的距離為．