Question

命題p：關于x的不等式x²+2ax+4＞0，對一切x∈R恒成立；命題q：函數f（x）=log_3-2ax在（0，+∞）上是增函數，若p∨q為真，p∧q為假．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據一元二次不等式恒成立的充要條件，可求出命題p為真命題時，實數a的取值范圍；根據對數函數的單調性與底數的關系，可以求出命題q為真命題時，實數a的取值范圍；進而根據p∨q為真，p∧q為假，判斷出p與q一真一假，由此構造關于a的不等式組，解不等式組可得實數a的取值范圍．

解答：解：若命題p為真命題，
則△=4a²-16＜0，解得-2＜a＜2；
若命題q為真命題，
則3-2a＞1，解得a＜1
∵p∨q為真，p∧q為假．
∴p與q一真一假
即

-2＜a＜2 a≥1

，或

a≤-2，或a≥2 a＜1

解得a≤-2，或1≤a＜2
∴實數a的取值范圍為（-∞，-2]∪[-1，2）

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了一元二次函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，難度不大．