Question

在△ABC中，已知角A，B，C滿足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，若△ABC的面積為，試求△ABC的三邊的長．

Answer 1

解：在△ABC中，
∵角A，B，C滿足2B=A+C，∴B=60°，tanB=．
∵tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，
∴把tanB=代入方程x²-λx+λ+1=0，
解得λ=2．由韋達定理有tanA•tanB=λ+1=2，
∴tanA==2+，
∴tanC=-tan（A+B）
=-
=
=1．
∴C=45°，A=75°．∴a：b：c=sin75°：sin60°：sin45°=（）：2：2．
設，，，
∵△ABC的面積為，
∴，
即，
解得k=1，
∴．
分析：在△ABC中，由角A，B，C滿足2B=A+C，知B=60°，tanB=．由tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，把tanB=代入方程x²-λx+λ+1=0，解得λ=2．由韋達定理有tanA•tanB=2，知tanA=2+，tanC=-tan（A+B）=1．故C=45°，A=75°．由此利用若△ABC的面積為，能求出△ABC的三邊的長．
點評：本題考查解三角形在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意三角形加法定理和正弦定理的靈活運用．