Question

下列命題：
①若m∈（0，1]，則m+

3

m

≥2

3

；
②

lim

n→∞

(-2)n-3n

3n+2n

=-1；
③若無(wú)窮數(shù)列an=

1

n(n+2)

，其各項(xiàng)和S=

3

4

；
④log32＞ln2＞

1

2

；
⑤設(shè)f(x)=

2x+1

x-1

，(x≠1)，f'（x）為其導(dǎo)函數(shù)，若f'（a）=f'（b），（a≠b），則f（a）+f（b）=4．
其中正確命題有

②③⑤

．（請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)，多填少填均不得分）

Answer 1

分析：①若m∈（0，1]，則m+

3

m

≥2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)m=

3

m

，即m=

3

時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)?span id="i2awyamu" class="MathJye">

3

∉(0，1]，知①不正確；②

lim

n→∞

(-2)n-3n

3n+2n

=

lim

n→∞

(- 2 3 )n-1

1+( 2 3 )n

=-1；③若無(wú)窮數(shù)列an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由S_n=a₁+a₂+…+a_n=

3

4

-

1

2

•

2n+3

n2+3n+2

，由此知其各項(xiàng)和S=

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(

3

4

-

1

2

•

2n+3

n2+3n+2

)=

3

4

；④由3＞e，知log₃2＜ln2；⑤設(shè)f(x)=

2x+1

x-1

，(x≠1)，f'（x）為其導(dǎo)函數(shù)，若f'（a）=f'（b），（a≠b），則f（a）+f（b）=4．

解答：解：①若m∈（0，1]，則m+

3

m

≥2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=

3

m

，即m=

3

時(shí)，取等號(hào)，
因?yàn)?span id="i2awyamu" class="MathJye">

3

∉(0，1]，故①不正確；
②

lim

n→∞

(-2)n-3n

3n+2n

=

lim

n→∞

(- 2 3 )n-1

1+( 2 3 )n

=-1，故②正確；
③若無(wú)窮數(shù)列an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
則S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

 -

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

•

2n+3

n2+3n+2

，
∴其各項(xiàng)和S=

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(

3

4

-

1

2

•

2n+3

n2+3n+2

)=

3

4

，故③正確．
④∵3＞e，∴l(xiāng)og₃2＜ln2，故④不正確；
⑤設(shè)f(x)=

2x+1

x-1

，(x≠1)，f'（x）為其導(dǎo)函數(shù)，
若f'（a）=f'（b），（a≠b），則f（a）+f（b）=4，故⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理、數(shù)列的極限、對(duì)數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．