Question

已知點P是雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1右支上一點，F是該雙曲線的右焦點，點M為線段PF的中點，若|OM|=3，則點P到該雙曲線右準線的距離為（　　）

• A．

  4

  3

• B．

  3

  4

• C．

  3

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：根據a²-b²=c²求出右焦點F的坐標，根據雙曲線的準線公式x=

a2

c

求出右準線方程，然后設P的坐標（x，y），代入到雙曲線方程，由M為PF的中點，根據中點坐標公式求出M的坐標，利用兩點間的距離公式求出 |

OM

|，最后聯立方程得到x，根據兩點間的距離公式求出P到準線方程的距離即可．

解答：解：由雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1得a=2，b=

5

，
根據勾股定理得c=3，則右準線為 x=

4

3

，右焦點F（3，0），
設P（x，y），P在雙曲線上，
∴

x2

4

-

y2

5

=1①
由點M為PF中點，
根據中點坐標公式求得M（

x+3

2

，

y

2

），
且|

OM

|=3
∴

(x+3)2

4

+

y2

4

=9②
由①②解得：x=

8

3

．
右準線為 x=

4

3

，則點P到雙曲線右準線的距離是

8

3

-

4

3

=

4

3

．
故選A．

點評：本題是一道綜合題，考查學生掌握雙曲線的一些簡單性質，會利用兩點間的距離公式及中點坐標公式、點到直線的距離公式化簡求值，同時也考查學生掌握向量的運用法則及向量模的求法，做題時要求學生知識面要寬，綜合運用數學知識解決問題．