Question

某地區的農產品A第x天（1≤x≤20）的銷售價格p=50-|x-6|（元/百斤），一農戶在第x天（1≤x≤20）農產品A的銷售量q=40+|x-8|（百斤）．
（1）求該農戶在第7天銷售家產品A的收入；
（2）問這20天中該農戶在哪一天的銷售收入最大？

Answer 1

分析：（1）第7天的銷售價格p=50-|x-6|=50-|7-6|，銷售量q=40+|x-8|=41得第7天的銷售收入W₇=pq可求
（2）若設第x天的銷售收入為Wx，則Wx=pq=（50-|x-6|）（a+|x-8|），去掉絕對值后是分段函數，求得函數Wx的每一段的最大值，并通過比較得出，第幾天該農戶的銷售收入最大．

解答：解：（1）由已知第7天的銷售價格p=50-|x-6|=50-|7-6|=49，銷售量q=40+|x-8|=40+|7-8|=41．
∴第7天的銷售收入W₇=pq=49×41=2009（元）．（4分）
（2）設第x天的銷售收入為Wx，
wx=

(44+x)(48-x)，1≤x≤6 2009，x=7 (56-x)(32+x)，8≤x≤20

（7分）
當1≤x≤6時，Wx=（44+x）（48-x）≤[

(44+x)+(48-x)

2

]2=2116（當且僅當x=2時取等號）
∴當x=2時有最大值w₂=2116；（9分）
當8≤x≤20時，Wx=（56-x）（32+x[

(56-x)+(32+x)

2

]2=1936（當且僅當x=12時取等號）
∴當x=12時有最大值w₁₂=1936；（12分）
由于w₂＞w₇＞w₁₂，所以，第2天該農戶的銷售收入最大．（12分）

點評：本題考查了含有絕對值的函數模型的應用；含有絕對值的函數，通常轉化為分段函數來解答，本題是中檔題目．